인덕턴스 결합계수 이해하기!

안녕하세요 이번 포스팅 내용은 인덕턴스 결합계수 대한 내용입니다. 즉 인덕턴스 내용 중에 상호인덕턴스와 결합계수, 동축 케이블의 인덕턴스에 대해서 포스팅을 작성해보도록 하겠습니다.

제가 이해한 내용을 기반으로 설명 드리며, 쉬운 이해를 돕기 위해서 가능한 수식도 같이 첨부하도록 하겠습니다.

[내용 업데이트 : 2023.07.08]

상호인덕턴스

: 일단 상호인덕턴스라는 개념부터 설명 드리도록 하겠습니다. 상호라는 말은 하나가 아닌 2개의 코일 상호 간의 인덕턴스라는 것을 인지하실 수 있을 겁니다.

이전 포스팅의 경우에는 자기인덕턴스(Self-Inductance) 즉, 하나의 인덕턴스를 나타내는 개념이였습니다.

해당 포스팅은 아래와 같이 첨부하였습니다. 먼저 공부하고 오시면 도움이 되실 겁니다.

위에 포스팅을 보고 오시면 아시겠지만 자기인덕턴스(Self-Inductance) 라는 개념은 코일에 전류를 흘려줄때 전류를 흘려준 바로 그 코일에서 자체적으로 자속이 얼마나 생기는 지를 나타내는 값입니다.

이에 비해 상호인덕턴스 (Mutual-Inductance)는 자신의 코일이 아닌 다른 코일의 자속이 자신의 코일에 영향을 줘서 전류를 흘려주지 않은 자신의 코일에 전류가 흐르게 하는 능력을 말합니다.

좀 더 자세히 설명을 드리면 자기인덕턴스는 자기 코일에 전류를 흘렸을 때 자기 코일에 자속이 얼마나 생기는지를 나타내고 상호인덕턴스는 다른 코일에서 생긴 자속에 의해 자기 코일에서 전류를 얼마나 발생시키는지를 나타냅니다

전기기사 시험에서 상호인덕턴스 내용은 코일이 2개가 나오므로 각각의 코일의 권수(N) 전류(I) 자속(Φ) 등을 가지고 계산하시면 됩니다. 자기인덕턴스 L 과 상호인덕턴스 L1, L2 대한 공식을 기술해보도록 하겠습니다.

▼ 환상솔레노이드와 무한장솔레노이드 모두 공통적으로 자기인덕턴스 L의 공식은 아래와 같습니다. 권선 N 옆에 ‘2’ 자승을 나타내는 것입니다. 참조하세요.

L=μSN2 x l

▼ 코일이 2개 보여주면 문제가 나올 것이므로 아래와 같이 2개로 각각의 자기인덕턴스를 구하실 수 있습니다. 권선 N 옆에 ‘2’ 자승을 나타내는 것입니다. 참조하세요.

L1=μSN12 x l

L2=μSN22 x l

▼두 코일에서 μ와 S 그리고 l은 문제 주어질 때 같으므로 따로 숫자로 구분되지 않을 확률이 높습니다. 이점 참조하세요.

상호인덕턴스 M값의 공식은 위에서 설명 드린 자기인덕턴스 L값의 공식과 유사하다고 생각하시면 됩니다. 상호인덕턴스 M값은 아래와 같습니다. μ와 S는 두 코일이 같은 경우가 높고 권수 N1과 N2가 서로 다른 경우가 많다고 합니다.

M=μSN1N2l

여기에서 L1과 L2를 곱해보면 아래와 같이 정리를 할 수가 있는데요. ‘2’ 가 자승인 경우는 띄워쓰기를 하고 ‘x’를 표시하여 구분한점 참조해서 식을 이해하시면 됩니다.

L1×L2=μSN12 x l×μSN22 x l

=μ2 x S2 x N12 x N22 x l2

=(μSN1N2l)2=M2

▼ 즉 L1×L2=M2이 성립합니다 따라서 M= 루트 (L1L2) 가 되는 것입니다.

위의 식으로 표현을 할수도 있고 M= k x 루트 (L1L2) 라고 표현할 수도 있습니다.

위의 식과 비교해서 역산해서 ‘k’ 을 구하셔도 되지만 이 부분은 문제에서 그냥 ‘결합계수’ 라는 이름으로 나올 가능성이 높습니다.

위에서 설명 드린 대로 상호인덕턴스의 경우에는 2개의 코일중에 한쪽의 코일에서 다른 코일에 영향을 줘서 전류를 흐르게 하는 것이라고 이해하시면 되는데 한쪽 코일에서 만들어진 자속이 반대쪽 코일에 100% 작용하여 전류를 만드는데 모두 사용되면 가장 좋지만 실제로는 그렇지 않습니다.

왜냐하면 공기 중의 누설되는 ‘누설자속’이 생길수도 있고 완벽한 모든 자속이 반대편의 코일에 영향을 주어 전류를 흐르게 하게는 못한다고 합니다.

여기에서 100%로 영향을 주지 못하고 어느정도 영향을 주는 지에 대한 척도로 결합계수를 이용한다고 합니다.

다시 말을 바꿔서 말씀 드리면 한 코일의 자속이 얼마나 반대쪽 코일의 전류를 만드는데 실질적으로 사용되느냐를 알려주는 계수라고 생각하시면 됩니다.

이런 결합계수의 범위는 0≤k≤1 입니다. ‘1’ 의 의미는 100% 라고 생각하시면 됩니다.

케이스 별로 말씀 드리면 결합이 전혀 되지않아 한 코일의 자속이 반대쪽 코일의 전류를 전혀 만들수 없으면 k=0이 되고, 한쪽 코일의 자속이 반대쪽 코일의 전류를 만드는데 100% 완전히 사용되면 k=1이 되는 것입니다.

하지만 결합계수가 0이나 1이 되는 것은 매우 특별한 상황이라서 일반적인 결합에서는 일반적인 결합에서는 0과 1사이의 값을 가지게 된다고 합니다.

동축케이블 인덕턴스, 코일 저장 에너지

: 위에서 설명 드린 상호인던턱스에 이어 이번에는 동축케이블 인덕턴스에 대해서 설명 드리도록 하겠습니다. 동축케이블은 동심원통 또는 동축원통이라고 하는데 중앙이 비어있는 원기둥을 생각하시면 됩니다.

동축케이블의 인덕턴스 값은 외부와 내부로 나뉘어져서 계산하시면 됩니다. 외부 인덕턴스의 경우에는 외부 인덕턴스 L=(μl / 2π) x ln(b/a)[H] 이고 내부 인덕턴스의 경우는 Li(internal)=μl / 8π[H] 입니다.

여기에서 a 와 b가 나타내는 Value의 값은 b가 바깥쪽 반지름이고 a가 안쪽 반지름입니다. 즉 b가 a 보다 무조건 큰 경우입니다. 만약 단위 길이당 인덕턴스를 구하는 문제가 나오면 각 공식에 ‘l’을 나뉘주시면 됩니다.

그런데 만약 대입을 해보면 원래 분자에 ‘l’ 이 있기 때문에 아래와 같이 도출 되는 것을 보실 수 있습니다.

단위길이당 외부 인덕턴스 : L=(μ / 2π) ln(b/a) [H/m] (단위도 [H]에서 [H/m]로 변경)
단위길이당 내부 인덕턴스 Li(internal)=μ / 8π[H/m] (단위도 [H]에서 [H/m]로 변경)

추가적으로 코일에 저장되는 에너지에 대해서 설명 드리도록 하겠습니다.

코일에 전류를 흘려주면 자속이 생기게 된다는 말은 전류를 공급받은 코일에서 전류라는 전기에너지가 자기에너지 형태로 저장된다는 말인데요.

식으로 나타내면 아래와 같습니다. 문제에서는 “W = (1 / 2) x LI2” 공식이 가장 많이 나온다고 합니다. 참조하세요.

W=(1 / 2) x NΦI=(1 / 2) x LI2=(NΦ)2 x 2L[J] (에너지이기 때문에 단위는 [J] 이 됩니다.)

이상입니다. 지금까지 인덕턴스 결합계수 대해서 설명 드렸고, 상호인덕턴스와 결합계수, 동축 케이블의 인덕턴스에 대해서 포스팅을 작성하였습니다.

제가 이해한 내용을 기반으로 설명 드린 것이고 중간 중간에 오류가 있을 수도 있으니, 포스팅 보시다가 수정해야 할 사항이 있다면 댓글 남겨주시면 수정하도록 하겠습니다. 그럼 조금이나마 도움이 되셨으면 하네요. 이만 마무리 하겠습니다. 감사합니다.

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