제어공학 형에 의한 제어계 정상편차

안녕하세요, 이번 포스팅은 제어공학 형에 의한 제어계 정상편차 대해서 작성하도록 하겠습니다.

제어공학을 공부하거나 실제 제어 시스템을 설계할 때, 시스템의 안정성과 성능을 평가하는 중요한 기준 중 하나가 바로 형에 의한 제어계입니다.

이를 통해 정상 상태에서의 편차를 최소화하고, 원하는 성능을 달성할 수 있는지 판단할 수 있습니다.

이번 포스팅에서는 형에 의한 제어계가 무엇인지, 그리고 정상편차와 어떤 관계가 있는지를 알아보겠습니다.

또한 기준 입력 시험에 따른 정상편차 계산 방법과 실제 적용 예제까지 살펴보도록 하겠습니다. 

형에 의한 제어계의 분류

✔ 형에 의한 제어계란?

형에 의한 제어계는 시스템의 전달함수 G(s)의 극한값을 분석하여 제어계의 성질을 결정하는 방법입니다.

쉽게 말해, 입력이 주어졌을 때 정상 상태에서의 편차(오차)가 얼마인지 평가하는 기준이 되는 것입니다.

제어계를 설계할 때, 정상편차를 줄이는 것이 중요한 목표 중 하나인데요.

이를 위해서는 제어계의 형이 어떻게 결정되는지 이해해야 합니다.

✔ 형을 결정하는 방법

제어계의 형 (Type)은 전달함수 G(s)의 극한값을 통해 결정됩니다.

즉, 시스템이 가지고 있는 s의 분모 차수(극점의 개수)에 따라 분류가 이루어집니다.

구분	상세 사항
0형 제어계 (Type 0)	✔ G(s)의 분모에 s가 포함되지 않는 경우 ✔ 정상 위치 편차가 존재함 ✔ 속도 및 가속도 입력에 대해 정상 상태 오차가 큼
1형 제어계 (Type 1)	✔ G(s)의 분모에 s가 한 번 포함된 경우 ✔ 정상 위치 편차는 0이지만, 정상 속도 편차는 존재 ✔ 가속도 입력에 대해서는 여전히 정상 상태 오차가 존재
2형 제어계 (Type 2)	✔ G(s)의 분모에 s가 두 번 포함된 경우 ✔ 정상 위치 및 속도 편차가 모두 0 ✔ 정상 가속도 편차는 존재

이러한 방식으로 전달함수의 s 차수를 기반으로 제어계의 형을 결정하고, 이를 통해 시스템의 정상 상태 오차를 예측할 수 있습니다.

기준입력시험에 대한 정상편차

✔ 기준입력시험이란?

제어 시스템에서 성능을 평가하는 중요한 요소 중 하나는 기준 입력 시험입니다.

기준 입력은 시스템의 응답을 확인하는 데 사용되며, 주로 다음과 같은 세 가지 입력이 포함됩니다.

​

✔ 정상편차 계산 공식

기준 입력이 주어졌을 때, 정상 상태에서 편차를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

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이 공식을 통해 특정 형(Type)의 제어계가 기준 입력에 대해 어떻게 반응하는지를 알 수 있습니다.

정상 위치 편차

✔ 정상 위치 편차란?

정상 위치 편차(ess_p)는 단위 계단 입력이 주어졌을 때 발생하는 정상 상태 오차입니다.

즉, 시스템이 원하는 위치로 얼마나 정확하게 이동하는지를 나타내는 지표입니다.

 

✔  형별 정상 위치 편차

 0형 제어계에서는 정상 위치 편차가 존재하며, 이는 다음과 같이 계산됩니다.

 ess_p = 1 / (1 + K_p)

 

여기서 K_p는 정상 위치 편차 상수입니다.

그리고  1형 제어계 이상의 제어계에서는 정상 위치 편차가 0이 됩니다.

정상 속도 편차

✔  정상 속도 편차란?

정상 속도 편차(ess_v)는 단위 램프 입력이 주어졌을 때 발생하는 정상 상태 오차입니다.

이는 시스템이 지속적으로 증가하는 입력을 따라갈 수 있는지를 평가하는 중요한 기준입니다.

 

✔  형별 정상 속도 편차

0형 제어계에서는 정상 속도 편차가 존재하며, 이는 다음과 같이 계산됩니다.

ess_v = lim (s → 0) s * R(s) / (1 + G(s))

즉, 0형 제어계에서는 정상 속도 편차가 무한대로 발산합니다.

이는 시스템이 속도 입력을 전혀 따라가지 못한다는 것을 의미합니다.

반면 1형 제어계에서는 정상 속도 편차는 다음과 같이 계산됩니다.

ess_v = 1 / K_v

여기서 K_v는 정상 속도 편차 상수입니다.

즉, 1형 제어계에서는 정상 속도 편차가 0이 되지 않지만, 제어 성능을 개선하면 줄일 수 있습니다.

마지막으로 2형 이상의 제어계에서는 정상 속도 편차가 0이 됩니다.

정상 가속도 편차

✔  정상 가속도 편차란?

정상 가속도 편차(ess_a)는 단위 포물선 입력이 주어졌을 때 발생하는 정상 상태 오차입니다.

즉, 가속도가 지속적으로 증가하는 경우 시스템이 이를 얼마나 따라갈 수 있는지를 평가하는 지표입니다.

 

✔ 형별 정상 가속도 편차

0형 제어계에서는 정상 가속도 편차가 매우 크며, 다음과 같이 계산됩니다.

ess_a = lim (s → 0) s² * R(s) / (1 + G(s))

결과적으로 무한대로 발산하게 됩니다. 

그리고 1형 제어계에서도 정상 가속도 편차는 여전히 존재하며, 다음과 같이 표현됩니다.

ess_a = 1 / K_a

여기서 K_a는 정상 가속도 편차 상수입니다.

이어서 2형 제어계에서는 정상 가속도 편차가 다음과 같이 계산됩니다.

ess_a = 1 / K_a

즉, 가속도 입력에 대해 여전히 작은 편차가 존재합니다.

마지막으로 3형 이상의 제어계에서는 정상 가속도 편차가 0이 됩니다.

제어공학 형에 의한 제어계 정상편차 요점 정리

형에 따른 제어계 사항은 요약하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

제어계 형	정상 위치 편차	정상 속도 편차	정상 가속도 편차
0형 제어계	존재	무한대	무한대
1형 제어계	0	존재	무한대
2형 제어계	0	0	존재
3형 제어계	0	0	0

그리고 각 제어계에 따른 위치 오차 존재 여부 및 정상 편차에 대한 사항은 아래와 같이 정리하였습니다. 

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정상 오차를 줄이려면 형을 높이는 게 유리하지만 안정성까지 고려한다면 형을 계속적으로 높이는 것도 좋지 않은 거 같습니다. 

​

즉 형 조절을 통해 오차를 줄이면서도 안정성까지 고려한 사항으로 적용을 해야 할 것으로 판단이 됩니다.

제어공학 공부하시면서 전력공학에 대해서도 공부하시는 걸 추천 드립니다.

 

자주 묻는 질문

✔  형에 의한 제어계를 결정하는 가장 중요한 요소는 무엇인가요?

형에 의한 제어계를 결정하는 핵심 요소는 전달함수 G(s)의 분모 차수입니다.

즉, s의 개수가 증가할수록 제어계의 형이 높아지며, 이에 따라 정상 상태에서의 오차가 점차 줄어들게 됩니다.

✔  1형 제어계와 2형 제어계 중 어느 것이 더 좋은가요?

일반적으로 2형 제어계가 1형 제어계보다 더 우수한 성능을 보입니다.

특히 정상 속도 편차가 0이 되므로, 속도를 유지해야 하는 시스템에서는 2형 이상의 제어계를 적용하는 것이 바람직합니다.

✔  형을 증가시키면 무조건 성능이 좋아지나요?

제어계의 형을 증가시키면 정상 상태에서의 오차가 줄어들지만, 시스템의 안정성이 저하될 수 있습니다.

따라서 적절한 형을 선택하는 것이 중요합니다.

 

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결론

이상입니다. 지금까지 제어공학 형에 의한 제어계 정상편차 대해서 포스팅을 작성을 하였습니다. 

제어 시스템의 성능을 평가할 때, 정상 상태 오차를 줄이는 것이 매우 중요한데 이를 위해 제어계의 형(Type)을 결정하는 게 좋습니다. 

위에서 설명 드린 대로 제어계의 형을 증가시키면 정상 상태 오차를 줄일 수 있지만, 시스템의 안정성 또한 고려해야 합니다.

다시 말해 제어 시스템을 설계할 때, 단순히 형을 증가시키는 것이 능사는 아니며 시스템의 동특성과 안정성을 함께 고려해야 합니다.

그럼 여기까지 정리하면서 마무리하도록 하겠습니다. 

위에서 작성한 내용은 제 스스로 검토하고 공부한 내용을 기술한 것이기에 오류가 있을 수 있는 점 참조 부탁 드립니다. 

감사합니다.