안녕하세요, 이번 포스팅은 제어공학 제어계 안정도 (feat. 루스법) 대해서 작성하도록 하겠습니다.
오늘은 제어공학을 공부하시는 분들이 가장 많이 헷갈려하는 제어계의 안정도에 대해 쉽게 설명드리려고 합니다.
특히 루스법을 처음 접하시는 분들, 이론은 알겠는데 계산에서 막히셨던 분들 모두에게 도움이 되는 실전 중심의 내용이니 참조하시면 공부하시는데 도움이 되실 겁니다.
절대 안정도
제어공학 제어계 안정도 종류로는 절대 안정도, 상대 안정도 이렇게 2가지로 구성이 되어 있습니다.
그럼 먼저 절대 안정도에 대해서 먼저 설명 드리도록 하겠습니다.
📌 절대 안정도란?
절대 안정도는 제어계의 극점이 모두 좌반면(Left Half Plane)에 위치하는지를 판단하는 기준이에요.
즉, 시스템이 외부 자극 없이도 스스로 안정되는지를 판단하는 것이죠.
전달함수의 특성방정식을 통해 극점(pole)을 찾고, 이 극점들이 전부 실수부가 음수인지 확인하면 됩니다.
✔ 절대 안정도 판단 방법
- 전달함수의 분모를 특성방정식이라 부름
- 해당 방정식의 근이 모두 좌반면에 있을 때 안정
- 루스-후르비츠(Routh-Hurwitz) 판별법을 이용해 계산 가능
모든 계수의 부호가 같고, 0이 없이 연속적으로 존재하면 절대적으로 안정이라고 이해하시면 됩니다.
하지만, 부호가 바뀌거나 0이 등장한다면 불안정 가능성이 높습니다.
상대 안정도
📌 상대 안정도란?
상대 안정도는 제어계가 안정하다는 전제 하에 얼마나 안정한지를 정량적으로 측정하는 개념입니다.
말 그대로 안정성의 “정도”를 표현하는 것이죠.
✔ 대표적인 지표
- 위상여유(Phase Margin) 및 이득여유(Gain Margin)
- 보드선도(Bode Plot), 나이퀴스트(Nyquist) 궤적 등에서 도출 가능
절대 안정도가 “안전벨트 착용 여부”라면, 상대 안정도는 그 안전벨트가 얼마나 튼튼한지에 대한 평가라고 생각하시면 됩니다.
그리고 이득여유는 보통 6dB 이상, 위상여유는 30도 이상이면 괜찮은 안정도로 판단합니다.
루스법(Routh-Hurwitz)
📌 루스법이란?
루스-후르비츠 판별법은 복잡한 방정식의 해를 직접 구하지 않고도, 그 방정식의 근이 좌반면에 있는지를 확인하는 기법입니다.
✔ 루스표 작성법
- 특성방정식을 최고차항부터 계수로 나열
- 차수를 건너뛰며 표의 첫 두 줄 작성
- 두 줄의 계수들을 이용하여 새로운 행 계산
- 모든 행 작성 후, 첫 열의 부호 변화를 통해 안정성 판단
안정조건은 모든 계수 존재해야 하고, 계수 부호 일치해야 하며, 마지막으로 첫 열의 부호가 변화 없어야 합니다.
단 특정 행의 첫 번째 원소가 0이거나, 행 전체가 0인 경우가 발생할 수 있어요. 이럴 땐 보조방정식을 사용해 해결하셔야 합니다.
루스법(Routh-Hurwitz) 예제 문제
그럼 루스법을 조금 더 자세히 이해하기 위해서 예제 문제를 이용하여 설명 드리도록 하겠습니다.
일단 예를 들어, 특성방정식이 다음과 같이 주어졌다고 해볼게요.
F(s) = s⁴ + 3s³ + 5s² + 9s + 2
이 경우 루스표의 첫 번째 행은 s⁴의 계수부터 한 칸씩 건너뛰어 나열을 하시면 아래와 같습니다.
1 (s⁴), 5 (s²), 2 (상수항)
두 번째 행은 s³의 계수부터 건너뛰며 정리하면 아래와 같습니다.
3 (s³), 9 (s¹), 0
이제부터는 위 두 줄의 값을 활용하여 다음 행을 계산을 하시면 됩니다.
✔ A1 계산 공식
A1 = (3×5 – 1×9) / 3 = (15 – 9) / 3 = 2
✔ A2 계산 공식
A2 = (3×2 – 1×0) / 3 = 6 / 3 = 2
이와 같은 방식으로 아래 행들도 쭉쭉 계산합니다.
계산을 하시다가 첫 열의 부호가 한 번이라도 바뀐다면 이 시스템은 불안정하다고 이해하시면 됩니다.
루스법(Routh-Hurwitz) 추가 활용법
🛠 특수한 상황에서 루스법 활용법
✔ 첫 번째 원소가 0인 경우
만약 루스표의 어떤 행에서 첫 번째 원소가 0이지만 나머지는 0이 아닌 경우가 있다면 계산이 불가능해지기 때문에, (s+α)를 특성방정식에 곱해서 문제를 해결해야 합니다.
단, 중근이나 허근(conjugate root)을 피해서 적절한 α 값을 설정해야 한다는 점은 인지를 하고 계셔야 합니다.
✔ 행 전체가 0인 경우
루스표에서 어떤 한 행 전체가 0이 되어버리는 경우도 있습니다.
이때는 바로 위 행을 기준으로 보조방정식(auxiliary equation)을 만들어 미분 후, 해당 계수를 루스표에 다시 넣습니다.
이러한 예외상황은 시험에서 자주 등장하니 꼭 숙지해 두시는 걸 추천 드립니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
✔ 절대 안정도와 상대 안정도 중 뭐가 더 중요하나요?
둘 다 중요하다고 생각합니다. 왜냐하면 절대 안정도는 기본 조건이고, 상대 안정도는 제어 성능을 높이는 핵심 지표예요.
둘 중 하나만 봐서는 완벽한 제어계 설계가 어렵습니다.
✔ 루스표 계산에서 소수나 복잡한 수가 나올 땐 어떻게 하나요?
소수도 문제없이 계산하면 되지만, 가능하면 정수로 바꾸기 위해 방정식을 정리하는 것이 실수를 줄이는 팁입니다.
특히 분모가 0이 되는 경우엔 반드시 보조방정식 기법 사용하는 게 중요합니다.
✔ 루스법만으로 안정성 전부를 알 수 있나요?
루스법은 절대 안정도만 판단할 수 있어요.
상대 안정도 분석을 위해선 보드선도, 나이퀴스트, 루트 궤적 등 다양한 주파수 응답 방법이 병행되어야 합니다.
핵심 요약
위에서 설명드린 내용이 조금은 수식이랑 같이 설명이 되고 복잡할 수 있기 때문에 조금은 정리가 필요할 거 같아서, 아래와 같이 핵심 요약을 해보았습니다.
- 절대 안정도는 제어계가 기본적으로 안정한지를 판단하는 기준
- 상대 안정도는 안정한 시스템이 얼마나 여유롭게 안정한지를 측정
- 루스법은 복잡한 해를 직접 구하지 않고도 절대 안정도를 판단할 수 있는 실용적인 도구
- 특수한 경우를 위한 보조방정식 사용법도 꼭 알아두기
그리고 제어공학 제어계 안정도는 아래 단계를 통해서 공부하시면 조금이나마 도움이 되실 겁니다.
✔ 1단계: 전달함수 → 특성방정식 도출
✔ 2단계: 계수 확인 후 루스표 작성
✔ 3단계: 첫 열의 부호 변화 체크 → 절대 안정도 판별
✔ 4단계: 상대 안정도는 보드선도나 나이퀴스트로 추가 분석
그리고 무엇보다 중요한 것은 직접 손으로 여러 번 계산해 보며 익숙해지는 것이 중요하니 직접 계산을 해보시는 걸 추천드립니다.
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결론
이상입니다. 지금까지 제어공학 제어계 안정도 (feat. 루스법) 대해서 포스팅을 작성을 하였습니다.
사실 전기자기학이 가장 어렵다고 느꼈지만 제어공학도 처음에는 어렵게 느껴졌습니다.
하지만 처음에는 어렵게 느껴질 수 있지만, 이해하고 나면 정말 실용적인 이론이라 나중에 실제 현업에서도 사용이 가능한 이론이라고 봅니다.
그럼 이만 마무리하도록 하겠습니다.
제 포스팅을 통해서 조금이나마 제어공학 공부하시는데 도움이 되었으면 합니다.
감사합니다.
