안녕하세요, 이번 포스팅은 제어공학 제어계 과도 응답 (1차, 2차 지연 제어계) 대해서 작성하도록 하겠습니다.
제어공학에서는 지연 제어계로 1,2차로 구분이 되는데 시정수 및 내부 변수에 따라 결괏값이 상이하게 적용이 되게 됩니다.
이런 제어계의 과도응답에 대해서 먼저 공부를 하시면 시스템이 안정과 불안정해지는 결과 값을 조금은 유추하고 미리 조정도 할 수 있다고 판단이 됩니다.
그럼 전기기사에서도 나오는 제어공학 제어계 과도 응답 (1차, 2차 지연 제어계) 대해서 자세히 알아보도록 하겠습니다.
1차 지연 제어계
1차 지연 제어계는 제어 시스템에서 가장 기본적인 형태로, 시스템의 출력이 입력에 대해 지연되면서 반응하는 특성을 가집니다.
이러한 시스템은 다음과 같은 1차 전달함수로 표현됩니다.
여기서 T는 시정수(time constant)를 나타내며, 시스템의 응답 속도를 결정짓는 중요한 파라미터입니다.
단위 계단 입력에 대한 과도 응답
단위 계단 입력 r(t) = u(t)를 1차 지연 제어계에 적용하면, 시스템의 출력 c(t)는 다음과 같이 나타납니다
이 식은 시간 t에 따라 출력이 지수 함수적으로 증가하여 최종적으로 1에 수렴함을 보여줍니다.
시정수 T의 역할
시정수 T는 시스템의 응답 속도를 결정하는 핵심 요소입니다.
T가 작을수록 시스템은 빠르게 반응하며, T가 클수록 반응이 느려집니다.
일반적으로 t = T일 때, 출력 c(t)는 최종 값의 약 63.2%에 도달합니다.
이는 시스템의 동적 특성을 이해하는 데 중요한 지표입니다.
1차 지연 제어계 과도 응답 특성
1차 지연 제어계의 과도 응답은 다음과 같은 특성을 가집니다.
| 응답 특성 | 상세 설명 |
| 지연 시간 (Delay Time, t_d) | 출력이 최초로 50%에 도달하는 시간 |
| 상승 시간 (Rise Time, t_r) | 출력이 10%에서 90%까지 도달하는 데 걸리는 시간 |
| 정착 시간 (Settling Time, t_s) | 출력이 최종 값의 ±2% 범위 내에 머무르게 되는 시간 |
이러한 특성들은 시스템의 성능을 평가하고 설계하는 데 꼭 참조해야 하는 중요한 지표로 사용됩니다.
2차 지연 제어계 과도 응답
2차 지연 제어계란?
2차 지연 제어계를 수식으로 표현하면 아래와 같습니다.
✔ ω_n: 고유 진동 각주파수 (Natural Frequency)
✔ δ: 감쇠비 (Damping Ratio)
이 두 가지 파라미터는 시스템의 동특성을 결정하는 중요한 요소입니다.
단위 계단 입력에 대한 2차 지연 제어계 과도 응답
단위 계단 입력 r(t) = u(t)를 적용하면, 시스템의 응답은 감쇠비 δ에 따라 크게 네 가지 형태로 나뉘게 됩니다.
1) 과제동 (Overdamped, δ > 1)
✔ 특성방정식의 근이 서로 다른 두 개의 실근을 가짐
✔ 응답이 느리게 증가하며, 진동 없이 천천히 수렴
✔ 물리적으로는 충격 흡수 장치, 자동 온도 조절기 등에 해당하는 특성
2) 임계제동 (Critically Damped, δ = 1)
✔ 특성방정식의 근이 중근을 가짐
✔ 최대한 빠르게 수렴하면서도 진동이 발생하지 않는 이상적인 상태
✔ 전자기기에서 서보 모터 제어, 로봇 팔 움직임 등에 많이 사용
3) 부족제동 (Underdamped, 0 < δ < 1)
✔ 특성방정식의 근이 복소수를 가짐
✔ 출력이 진동을 하면서 최종 값으로 수렴 (오버슈트 발생)
✔ 감쇠비 δ가 작을수록 진동이 심해짐
✔ 자동차 서스펜션 시스템, 진동제어 시스템 등에서 볼 수 있음
4) 무제동 (Undamped, δ = 0)
✔ 감쇠가 없어서 시스템이 영원히 진동 (순수한 진동)
✔ 실제 제어 시스템에서는 불안정한 시스템으로 분류되며, 이러한 상태는 지양해야 함
제어공학 공부하시면서 전자기학도 공부하시는 걸 추천 드립니다.
2차 지연 제어계 응답 특성
2차 시스템의 과도 응답을 평가하는 주요 특성들은 다음과 같습니다.
1) 최대 오버슈트 (Maximum Overshoot, M_p)
✔ 시스템이 목표 값보다 얼마나 초과하는지를 나타내는 지표
✔ 감쇠비 δ가 작을수록 오버슈트가 증가
수식으로 표현하면 아래와 같습니다.
2) 피크 시간 (Peak Time, t_p)
✔ 출력이 최댓값에 도달하는 시간
✔ 감쇠비와 고유 진동 주파수에 따라 결정
수식으로 표현하면 아래와 같습니다.
여기서, ω_d = \omega_n \sqrt {1 – \delta^2} (감쇠된 진동 주파수)
3) 정착 시간 (Settling Time, t_s)
✔ 응답이 최종 값의 ±2% 이내로 수렴하는 시간
✔ 일반적으로 다음 공식으로 근사
수식으로 표현하면 아래와 같습니다.
참고로 제어공학 뿐만 아니라 전력공학 공부하면서 정리한 내용은 아래 사항을 참조 하시면 공부하시는데 도움이 되실 겁니다.
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특성방정식의 근의 위치별 과도 응답
특성방정식과 특성근이란?
제어 시스템의 과도 응답을 분석할 때 가장 중요한 요소 중 하나가 특성방정식과 특성근입니다.
| 구분 | 상세 설명 |
| 특성방정식 | ✔ 전달함수의 분모를 0으로 만드는 식 |
| 특성근 (Characteristic Roots) | ✔ 특성방정식의 해로, 시스템의 안정성과 응답 형태를 결정하는 핵심 요소 |
특성근은 감쇠비 δ의 값에 따라 복소평면상에서 위치가 달라지며, 이에 따라 제어계 과도 응답이 달라집니다.
특성방정식 관련 자세한 사항은 아래 포스팅을 참조 하시면 이해하시는데 도움이 되실 겁니다.
복소평면에서의 특성근과 응답
복소평면상에서 특성근의 위치에 따른 과도 응답의 특징을 살펴보겠습니다.
1) 실수부가 음수일 때 (좌반면) → 안정한 시스템
✔ 특성근이 s = -a, -b (a, b > 0) 일 때
✔ 시스템이 빠르게 수렴하며 안정적인 응답을 가짐
✔ 과제동 (Overdamped, δ > 1) 또는 임계제동 (Critically Damped, δ = 1) 상태
2) 실수부가 0일 때 (허수축) → 한계 안정 시스템
✔ 특성근이 s = ±jω_n 형태일 때
✔ 시스템이 감쇠되지 않은 순수한 진동 상태로 유지됨
✔ 무제동 (Undamped, δ = 0) 상태
✔ 시간이 지나도 응답이 감소하지 않아 실제 시스템에서는 바람직하지 않음
3) 실수부가 양수일 때 (우반면) → 불안정한 시스템
✔ 특성근이 s = a, b (a, b > 0) 일 때
✔ 시스템의 응답이 시간이 지나면서 폭발적으로 증가 → 불안정
✔ 음향 증폭기에서의 하울링, 제어 실패로 인한 로봇 폭주 등의 예시
4) 복소수 특성근 (좌만면에 존재) → 진동형 응답
✔ 특성근이 s = -α ± jω_d일 때 – 응답이 진동하면서 점차 감쇠하여 수렴
✔ 부족제동 (Underdamped, 0 < δ < 1) 상태
✔ 현실에서 가장 많이 사용되는 제어 시스템의 형태 (예: 자동차 서스펜션)
자주 묻는 질문
Q1. 감쇠비 δ는 어떻게 조정할 수 있나요? 🤔
A. 감쇠비 δ는 시스템의 저항, 댐핑 요소 등을 조정하여 변경할 수 있습니다.
예를 들면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.
✔ 서스펜션 시스템에서는 댐퍼의 강도를 조절하여 감쇠비를 변경할 수 있음
✔ 전기 회로에서는 저항과 커패시터의 조합으로 감쇠비를 조정 가능
Q2. 감쇠비가 작을수록 좋은가요? 🤨
A. 감쇠비가 작을수록 시스템이 더 빠르게 반응하지만, 진동이 심해져서 불안정해질 가능성이 높습니다.
따라서 상황에 따라 적절한 감쇠비를 설정하는 것이 중요합니다.
Q3. 제어 시스템에서 안정성을 보장하려면? 🚀
A. 특성근이 복소평면의 좌반면에 위치하도록 설계하는 것이 중요합니다.
이를 위해 아래 사항 적용이 필요합니다.
✔ 피드백 게인을 조정
✔ 위상 여유(Phase Margin)를 고려하여 보상 기법을 적용
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결론
이상입니다. 지금까지 제어공학 제어계 과도 응답 (1차, 2차 지연 제어계) 대해서 포스팅을 작성을 하였습니다.
정리를 해보 보면 1차 지연 제어계는 지수 함수적 응답을 가지며, 시정수(T)가 응답 속도를 결정합니다.
그리고 2차 지연 제어계는 감쇠비(δ)에 따라 과제동, 임계제동, 부족제동, 무제동 등의 응답 특성을 보입니다.
특성방정식의 근이 복소평면에서 어디에 위치하는지에 따라 시스템이 안정/불안정해지는 걸 결정한다고 이해하시면 될 거 같습니다.
저도 개인적으로 공부를 하면서 이것저것 알아가는 재미가 쏠쏠한 거 같습니다.
그럼 제 포스팅이 제어공학 공부하시는데 도움이 되셨으면 합니다.
감사합니다.
