안녕하세요, 이번 포스팅은 제어공학 근궤적 개념 작성법 대해서 작성하도록 하겠습니다.
제어 시스템을 분석할 때 가장 자주 등장하는 개념 중 하나가 바로 근궤적(Root Locus)입니다.
근궤적(Root Locus)은 제어 시스템에서 이득(K) 값이 변화함에 따라 폐루프 극점이 s-평면에서 어떻게 이동하는지를 나타낸 그래프로써 제어공학을 공부하시는데 꼭 알아 두셔야 하는 항목 중 하나입니다.
그럼 제어공학 근궤적 개념 작성법 대해서 자세히 알아보도록 하겠습니다.
근궤적
근궤적(Root Locus)은 제어 시스템에서 이득(K) 값이 변화함에 따라 폐루프 극점이 s-평면에서 어떻게 이동하는지를 나타낸 그래프입니다.
즉, 제어기의 이득 값을 조절했을 때 시스템의 안정성이 어떻게 바뀌는지를 시각적으로 파악할 수 있도록 도와주는 도구라고 이해하시면 됩니다.
극궤적 개념
✔ 제어 시스템에서 이득(K) 값이 변화함에 따라 폐루프 극점이 s-평면에서 어떻게 이동하는지를 나타낸 그래프
✔ 제어기의 이득 값을 조절했을 때 시스템의 안정성이 어떻게 바뀌는지를 시각적으로 파악할 수 있도록 도와주는 도구
극점(pole)은 시스템의 응답 속도나 안정성에 직접적인 영향을 주기 때문에, 이 극점이 어디에 위치하느냐가 매우 중요합니다.
근궤적은 다음과 같은 성질을 갖습니다.
✔ K = 0일 때는 개루프 극점에서 시작
✔ K → ∞로 갈수록 개루프 영점 또는 무한대로 향하는 모습 보임
✔ 근궤적은 실수축에 대해 대칭
✔ 실수축 상의 구간 중, 그 지점의 오른쪽에 극점과 영점이 홀수개 있는 구간에만 근궤적이 존재
이러한 특징 덕분에 근궤적을 보면 시스템의 안정성 분석, 제어기 설계, 튜닝 방향을 한눈에 파악할 수 있어요.
추가적으로 제어공학 공부하시면서 전자기학도 같이 공부하시면 도움이 되실 겁니다.
근궤적의 작성법
근궤적을 그리는 과정은 다소 복잡해 보일 수 있지만, 일정한 규칙을 따르면 쉽게 따라 할 수 있습니다!
STEP 1 – 개루프 전달함수의 극점과 영점을 s-평면에 표시하는 것부터 시작을 하시면 됩니다.
일단 극점은 ✕, 영점은 ○ 기호로 표시를 해주시면 됩니다.
STEP 2 – 그리고 나서 실수축 상의 유효 구간을 찾는데, 해당 지점의 오른쪽에 있는 극점 +영점의 개수가 홀수일 경우, 그 구간에 근궤적이 존재한다고 보시면 됩니다.
STEP 3 – 이제 근궤적의 가지 수를 계산하시면 되는데 근궤적의 총개수는 극점의 개수와 같습니다.
STEP 4 – 점근선의 개수와 각도, 교차점을 계산을 먼저 하시면 되는데 다음과 같습니다.
✔ 점근선 개수 = 극점 개수 – 영점 개수
✔ 각도는 (2k+1) × 180° ÷ (P – Z) 공식 사용
✔ 교차점은 극점 실수합 – 영점 실수합 ÷ (P – Z)
STEP 5 – 마지막으로 이탈점 및 허수축 교차점도 계산하시면 되는데 이탈점은 특성방정식을 K에 대해 정리 후 s로 미분하여 찾으시면 됩니다.
그리고 허수축 교차점은 루스-후르비츠 판별법을 통해 계산하시면 됩니다.
이 과정을 통해 근궤적을 손으로도, 프로그램으로도 작성할 수 있습니다.
위에서 설명 드린 내용의 이해를 돕기 위해서 아래 예제를 통해서 추가 설명 드리도록 하겠습니다.
자주 묻는 질문
✔ 근궤적은 왜 배우는 건가요?
근궤적은 이득 K값의 변화에 따라 폐루프 극점이 어디로 이동하는지 알 수 있어요.
이를 통해 제어 시스템의 안정성, 응답속도, 진동 특성을 판단할 수 있어 매우 중요합니다
✔ 극점과 영점의 개수가 다르면 어떻게 되나요?
극점과 영점의 개수가 다르면 남는 극점 수만큼 점근선이 생겨요.
예를 들어 극점 3개, 영점 1개라면 2개의 점근선이 생기고, 각각 특정 각도로 무한대로 향하게 됩니다.
이 점근선은 근궤적이 퍼지는 방향을 예측하는 데 사용됩니다.
✔ 루스-후르비츠 판별법은 꼭 써야 하나요?
루스-후르비츠는 K값에 따라 시스템이 언제 안정성을 잃는지를 파악할 수 있는 중요한 도구예요.
특히 근궤적이 허수축을 지나는 시점(임계안정 조건)을 정확히 구하려면 꼭 필요합니다.
✔ MATLAB이나 Python 없이 손으로도 근궤적을 그릴 수 있나요?
네! 위에서 설명한 작성법을 순서대로 따라 하면 손으로도 충분히 근궤적을 그릴 수 있어요.
하지만 복잡한 시스템의 경우 시각화 도구를 활용하는 게 시간 절약에 도움이 됩니다.
✔ 근궤적은 어디에 활용되나요?
근궤적은 로봇 제어, 드론, 전기차 제어기, 산업용 자동화 시스템, 항공기 자동조종 장치 등 정말 다양한 분야에서 쓰입니다.
기술 면접이나 자격증 시험(예: 제어공학, 전기기사)에서도 자주 등장하는 개념이에요.
✔ 실수축에서 근궤적이 존재하는 구간은 어떻게 정하나요?
해당 지점의 오른쪽에 위치한 극점과 영점의 총합이 홀수일 때만 그 구간에 근궤적이 존재합니다.
이 규칙을 잘 기억해두면 실수축 상의 근궤적을 빠르게 판단할 수 있어요.
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결론
이상입니다. 지금까지 제어공학에서 제어공학 근궤적 개념 작성법 대해서 포스팅을 작성을 하였습니다.
근궤적은 단순한 이론이 아니라, 실제 제어기 설계와 시스템 분석에서 핵심적인 도구라서 꼭 해당 이론을 이해하시면 제어공학 공부하시는데 도움이 되실 겁니다.
특히 이득 K의 변화에 따라 시스템의 동작이 어떻게 바뀌는지를 직관적으로 파악할 수 있다는 점에서 매우 유용하다는 점도 참조하시면 될 거 같습니다.
그럼 이만 마무리 하도록 하겠습니다.
해당 글 제가 스스로 공부하고 검토한 사항이라 오류가 있을 수 있는 점 참조 부탁 드립니다.
감사합니다.
