전기 영상법 대해서 알아보자! – 전기자기학 5장

안녕하세요, 오늘 다룰 내용은 지난 번에 다룬 유전체에 이어, 전기 영상법 대해서 정리한 내용입니다. 오늘 주로 설명 드릴 내용은, 전기 영상법 대해서,나름대로 정리해서 설명 드리도록 하겠습니다.

 

 

1. 전기 영상법

: 이전에 배운 쿨롱의 법칙과 전위, 전계를 구하는 식으로는 해석이 안 되는 경우에 적용이 되는 방법이라고 이해하시면 됩니다.

즉, 어떤 특수한 상황에서의 전하밀도나 힘의 크기등을 구하는 방법을 전기기사를 공부하면서, 접하게 되는데, 이 때는 사용하는 방법입니다.

 이 부분은 사실, 공식을 주로 외우라고 추천 드리고 싶습니다. 과년도를 풀어보면, 공식 위주로만 물어보시는 게 더 효율적이라고 생각합니다. 저도 그렇게 공부를 하고 있습니다.

 사실 처음에 전기영상법 이라는 단어를 접했을 때는, 회로이론이나 전력공학에서의 정상, 역상, 영상분과는 비슷한 이론인가 생각을 했는데, 거기에서 나오는 영상분과 오늘 제가 설명드릴 전기영상법은 다른 의미입니다.

▼ 여기서는 이미지(image), 즉 상상한다는 의미인데요, 가상의 전하가 존재한다고 가정한다는 의미라고 생각하시면 됩니다. 그럼 각 Case 마다 하나씩 설명 드리도록 하겠습니다.

• (접지)무한평면과 점전하
• 접지 구도체와 점전하
• 대지면과 선전하

 

 

 

2. (접지)무한평면과 점전하

: +Q[C]의 어떤 점전하와 거리 d 만큼 떨어진 어떤 지점 사이에, 작용하는 힘과 전위를 구한다라고 생각해보시죠.

이럴 경우에는 이번에 배운 공식으로는 구할 수 없습니다. 이럴 경우에는 전기영상법을 사용합니다.

앞에 설명 드렸듯이, 가상의 전하가 존재한다고 가정한다는 의미라고 말씀 드렸습니다. 즉 그 지점에서 반대쪽으로 d 만큼 떨어진 곳에 -Q[C]이 있다고 가정을 해보는 거죠.

▼ 두 점 전하로 부터 같은 거리 d 만큼 떨어진 지점의 전위를 구한다는 의미는, 두 점 전하에 의한 전위를 합한 것이 되므로, 아래와 같이 공식을 사용할 수 있습니다.

즉, 어떤 특정 지점으로부터 거리가 같은 전하들의 전위의 합은 0 이 됩니다. 

 

 

 

 

– 공간에서 어떤 두 점전하와 같은 거리에 있는 점은 셀수 없이 많다는 전제하에, 그 점을 다 합치면, 무한평면이 되는 거죠.

다시 설명 드리면, 두 점전하 +Q[C]과 -Q[C] 사이에 같은 거리 d 지점에 평면이 있다면 그 평면의 전위 V=0이 될 것입니다.

 

 

 

그럼 전위 V를 구하는 것은 알아 냈는데, 이번에는 전기 영상법을 이용한 힘 F를 구해보도록 하겠습니다.

다시 위에서 설명 드린 무한 평면을 가지고 설명 드리도록 하겠습니다. +Q[C]의 점 전하와 d 만큼 떨어진 곳에 접지된 무한평면이 있다고 해봅시다.

여기에서 접지란 영어로는 Grouding 이라고 하는데요, 땅과 연결되었다라는 뜻으로 해석하시면 됩니다.

첨언으로 드리자면, 전류는 저항이 낮은 쪽으로 흐립니다. 다른 어떤 곳보다 땅의 저항이 낮기 때문에, 땅에다가 접지를 하는 데요.

Safety 측면에서, 접지 (Grouding)는 전기가 있는 곳에는 꼭 들어가는 요소라고 생각하시면 됩니다.

 대지의 전위는 통상 0으로 보기 때문에 대지와 연결된 도체의 전위는 0이 됩니다. 즉 접지된 무한평면이라는 것은 전위가 0인 평면이라는 것이라고 이해하시면 됩니다.

접지된 무한평면과 점 전하 사이에 작용하는 힘을 구할 경우에는, 무한평면과 점 전하 사이의 힘을 구하는 공식은 따로 없고, 이전에 설명 드린 공식으로도 구하기가 어렵습니다.

그래서 전기영상법을 이용하여, 무한평면의 반대쪽에 크기는 같고 부호는 반대인 -Q[C]의 전하가 존재한다고 가정하고 두 점전하 사이의 힘의 크기를 계산함으로써 접지된 무한평면과 점전하 사이의 힘을 구할 수 있습니다

이때 우리가 가정한 -Q[C]의 전하를 영상전하라고 합니다. 가상의 전하라고 생각하시면 됩니다.

아까 전위 구할 때 설명 드렸던 내용을 다시 애기를 하자면, +Q[C]과 -Q[C] 사이에 같은 거리만큼 떨어진 평면의 전위가 0이라는 말은 곧 +Q[C]의 점전하에서 d 만큼 떨어진 곳에 전위가 V=0인 평면이 있다면 반대쪽 d만큼 떨어진 곳에 -Q[C]이 있다라고 생각하시면 됩니다.

그렇게 되면, 두 점 전하 사이의 거리는 2d가 때문에 아래 공식을 사용하여 두 점 전하 사이에 작용하는 힘을 구할 수 가 있습니다.

 아래 사용한 공식은 쿨롱의 법칙을 사용한 것입니다.

 

 

▼  부호가 (-)라는 말은 ‘항상 흡인력이 작용한다’ 라는 의미입니다. 더 쉬운 이해를 돕기 위해 아래 그림 참조 부탁 드립니다.

 

 

 만약 무한평면과 d 만큼 떨어진 곳의 Q[C]의 전하를 무한히 멀리 떨어 뜨릴 때 (무한원점까지 운반할 때) 필요한 일의 양을 구하라고 하면 아래 공식을 이용하시면 됩니다. (W = F X r (or d))

 

▼ 무한평면도체와 점 전하 사이의 전하분포는 둘 사이의 위치나 거리에 따라 달라지는데 전하밀도가 최대가 되면 그 값을 “최대전하밀도” 라고 하는데, 아래 공식을 통해서 도출 할 수 가 있습니다.

 

 

 

3. 대지면과 선전하

: 위에서 설명 드렸듯이, 대지는 접지 그 자체이므로, 대지면은 V=0입니다. 즉, 대지면은 접지가 되어 있는 무한 평면으로 간주 할 수 가 있습니다.

앞에 설명 드린 내용은 점전하의 내용이라면, 이번에 설명 드릴 내용은 선전하에 대한 내용입니다.

 일단 대지에서 h[m] 높이에 선전하밀도 λ [C/m]의 긴 선 전하가 있을 때 대지면과 선전하 사이에 작용하는 힘을 구하라고 하면, 점 전하 조건에서 적용한 전기 영상법을 이용하여, 대지 아래로 h[m]에 선전하밀도 -λ [C/m][C/m]의 선전하가 있다고 가정하고 두 선전하끼리의 힘을 구하면 됩니다.

 즉, 선전하끼리 떨어진 거리는 2h가 되는 셈이겠네요. 이 조건을 이용하여 아래 공식을 도출 할 수가 있습니다.

 

 

 

▼ 점 전하와 공통적인 부분은 선 전하에 작용하는 힘도 흡인력이라는 것입니다. 이 부분도 참조하시면 될 거 같습니다.

 

 접지 구도체와 점전하에 대해서 추가적으로 설명 드리도록 하겠습니다.

 반지름이 a인 접지된 구도체와 d만큼 떨어진 곳에 점 전하 Q[C]가 있다라고 가정을 해보면, 전기 영상법을 이용하면, 무한 평면에서 처럼 영상전하가 평면의 반대쪽에 같은 거리 만큼 떨어진 지점에 생긴다 라고 헷갈릴 수 가 있습니다.

 구도체의 경우에는 무한 평면의 Case와는 달리, 영상 전하는 구도체에 내부에 존재를 합니다.

1) 영상 전하의 위치

 

 

2) 영상 전하의 크기 :

 

 

▼ 위에 설명 드린 공식을 정리해보면 아래와 같습니다. 정리한 공식을 보시면, 공부한거 정리하시면, 좀 더 이해하기도 쉽고, 더 오래 기억에 남으실 겁니다.

 

 

 

 

 이상입니다. 지금까지 전기 영상법 대해서 정리한 내용을 공유 드렸습니다. 참 수학은 알다가도 신기한 학문인 거 같습니다. 여러가지 학문이 이 수학 그리고 그 수학 공식을 반영한,  물리 공식에 기반해서 이뤄지는 게 참 신기 한거 같습니다.

 하지만 반면 어려운 점도 많은 거 같습니다. 왜냐하면, 고등학교를 졸업하고, 그리고 대학교를 졸업하면 이런 기본학문에 대해서는 등안시 하기 때문입니다.

 요즘에는 이런 학문도 정말 중요했구나 라고 깨닫고, 그때 더 열심히 않은 제 자신에게 반성하는 시간을 가지게 되었습니다. 늦지는 않았겠죠?! 이제 부터라도, 같이 공부하고, 같이 성장하시죠! 감사합니다.

[참조 자료 출처 : gongkachu12.tistory.com]

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