가우스 적분형 미분형 푸아송 라플라스 방정식 – 전기자기학 2장

안녕하세요, 오늘 다룰 내용은 가우스 적분형 미분형 푸아송 라플라스 방정식 방정식 대한 내용입니다.

 지난 번에 다룬 전기력선, 전속, 전속밀도 그리고 전하밀도에 이어, 가우스 적분형, 미분형, 뿌아송의 방정식, 라플라시안 방정식에 대해서 나름대로 정리해서 설명 드리도록 하겠습니다.

1. 가우스 법칙 적분형

: 가우스 적분형 미분형 푸아송 라플라스 방정식 중에 일단 가우스 법칙 적분형에 대해서 설명 드리도록 하겠습니다.

 먼저 가우스 법칙 적분형 이해를 위한 전기장에 대해서 간단하게 설명 드리고 가겠습니다. 전기장이란, 원천 전하가 주변에 영향력을 미치는 공간입니다.

▼  이걸 그림으로 표현하면 아래와 같습니다. 그리고 이 하늘색으로 표현한 선을 “전기선속” 이라고 합니다.

 

가우스-법칙-적분형-수식1
가우스-법칙-적분형

 

 

가우스-법칙-적분형-수식2
가우스-법칙-적분형

 

– 여기에서 가우스 법칙은, 곡면을 통과하는 전기선속의 양에 대해 설명하는 공식이라고 생각하시면 됩니다. 가우스 법칙의 적분형을 식으로 나타내면 아래와 같습니다. 어디서 많이 본 공식 같지 않나요? 제가 이전에 포스팅한 “[전기기사] 전기자기학 – 전기력선 + 전속과 전속 밀도 그리고 전하밀도” 에 있는 전기선의 개수 구하는 공식과 똑같습니다. 관련 포스팅 Link 첨부 해드리겠습니다.

 

 

▼ dA는 전체 폐곡면 상에서 임의로 정한 미소면적입니다

 

 

가우스-법칙-적분형-수식3
가우스-법칙-적분형

 

 종합해서 말로 풀어서 설명 드리면, 전체 폐곡면을 통과하는 전기장들의 알짜합은 전체 전하량을 진공상태에서의 유전율로 나눈값과 같으며, 이를 전기선속 or 전기력선의 개수라고 부른다는 것입니다.

2. 가우스 법칙 미분형

: 미분이라는 것은 전자기학에서는 발산이라고 생각하시면 됩니다. 이 부분도 논쟁의 여지가 있지만, 쉬운 이해를 돕기위해서 말씀 드린 부분이라고 생각해주시면 감사 드리겠습니다. 일단 위에 공유 된 그림을 다시 가져와서 보면, 가운데 존재하는, 원천 전하 q가 전기장을 형성시키고 있습니다.

▼ 그리고 그를 둘러싼 임의의 가우스 폐곡면이 설정되는 것을 확인 하실 수 있습니다. 이 때, 미소면적 dA는 가우스 폐곡면의 표면에 위치합니다. 즉, 이 미소면적에 대한 적분값이 곧 원천 전하 q가 내뿜는 전기선속(Flux)의 알짜합과 같다는 말이기 때문입니다.

 

가우스-법칙-미분형-수식1
가우스-법칙-미분형

 

▼  식으로 표현하면 아래와 같이 표현이 가능합니다. 전계의 발산을 적분한 것이 전기선속과 같다라는 공식입니다. 그리고, 전계에 유전율을 곱한 것이 전속밀도가 되므로, 3번째 보여드린 공식으로도 표현이 가능합니다.

 

가우스-법칙-미분형-수식2
가우스-법칙-미분형

 

 

가우스-법칙-미부형-수식3
가우스-법칙-미분형

가우스-법칙-미분형
가우스-법칙-미분형

 

3. 푸아송의 방정식과 라플라스 방정식

▼  푸아송의 방정식과 라플라스 방정식을 설정하기 위해서는 이전 포스팅에서 설명드렸던 내용과 위 1, 2번에서 설명드렸던 내용을 기준으로 공식을 유도해보면 아래와 같습니다.

 

가우스-법칙
가우스-법칙

 위 유도된 내용을 간략하게 정리를 해보면, 위에서부터 전속밀도의 발산이 전하밀도(유전체의 경계조건), 전속밀도와 전기장(전계)의 관계, 그에 따른 유도, 전기장과 전위의 관계의 유도입니다. 이를 토대로 아래와 같이 Poisson 방정식(푸아송의 방정식)을 유도 하실 수 있습니다.

 

푸아송-방정식-수식1
푸아송-방정식

 

푸아송-방정식-수식2
푸아송-방정식

 

 여기서 전하밀도가 0이라면 이 공간에는 전하밀도가 없다는 것입니다. 이런 전하밀도가 없는 상태를 표현하는 식을 Laplace 방정식(라플라스 방정식)이라고 합니다. 관련 식은 아래와 같습니다.

 

라플라스-방정식-수식1
라플라스-방정식

 

▼   즉, Poisson 방정식(푸아송의 방정식)과 Laplace 방정식(라플라스 방정식)에 의해서 전위 V를 구할 수 있는데 이를 통해 E를 구하고 D를 구할 수 있는 것이지요. 또한 D를 알면 전하밀도를 구할 수 있고 전하밀도로 전하 Q를 구할 수 있습니다.

 이상입니다. 지금까지 가우스 적분형 미분형 푸아송의 방정식 라플라스 방정식 대해서 정리해서 공유 드렷습니다. 간단하게, 가우스 법칙의 미분형과 적분형을 정리해봤습니다.

 이전에 배운 전계, 전속밀도의 연관 관계도, 여기에서 등장하는 것을 보면, 그냥 마냥 공식을 외워서 시험을 보는 게 아니고, 나름대로 공부하는 김에, 유도나 자세히 공부해서, 나름대로의 기본지식을 가지고 공부하는게 낳지 않을까 라는 생각을 합니다.

 하지만, 시험은 Pass or Fail로 나뉘어지는 우리의 사회에서는 Pass를 하고 공부를 하지 머 라는 생각이 더 강하게 작용하는 거 같습니다. 무튼 어떤 식으로든, 같이 공부 많이 해서, 같이 성장하시죠! 감사합니다.

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